イラレのライブコーナーが表示されない原因は2つあります。
結論からいうと、Illustratorのバージョン。または、非表示にしているかのどちからです。
イラレのライブコーナーが出ない設定
Illustrator CC以上のバージョンの場合は、「表示/ライブコーナーを表示」で表示になります。
なんらかの拍子に非表示が入ると、ライブコーナーが出ないので表示設定を修正しましょう。
ライブコーナーがないバージョンのIllustratorに注意
そもそもライブコーナー機能がないバージョンのIllustratorを使ってる場合は最初から表示されません。
【絶望】Illustrator cs6 ライブコーナー機能がない件について・・・

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